[教程]掌握Cholesky分解，C语言实现高效求解线性方程组

Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为下三角矩阵与上三角矩阵相乘的方法。这种方法在求解线性方程组时非常高效，特别是对于大型稀疏矩阵。本文将详细介绍Cholesky分解的原理，并给出C语言实现的...

Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为下三角矩阵与上三角矩阵相乘的方法。这种方法在求解线性方程组时非常高效，特别是对于大型稀疏矩阵。本文将详细介绍Cholesky分解的原理，并给出C语言实现的代码示例。

Cholesky分解原理

对于一个对称正定矩阵 ( A )，如果存在一个下三角矩阵 ( L ) 和一个上三角矩阵 ( U )，使得 ( A = LU )，则称 ( A ) 可以进行Cholesky分解。

对于一个 ( n \times n ) 的矩阵 ( A )，其Cholesky分解过程如下：

1. 将矩阵 ( A ) 的对角线元素 ( a{11}, a{22}, \ldots, a{nn} ) 分别设为 ( l{11}, l{22}, \ldots, l{nn} )。
2. 对于 ( i = 2, 3, \ldots, n )，计算 ( l{ii} )： [ l{ii} = \sqrt{a{ii} - \sum{j=1}^{i-1} l_{ij}^2} ]
3. 对于 ( i = 1, 2, \ldots, n-1 )，计算 ( l{ij} )（其中 ( j > i )）： [ l{ij} = \frac{a{ij} - \sum{k=1}^{i-1} l{ik} l{kj}}{l_{ii}} ]

C语言实现

以下是一个使用C语言实现的Cholesky分解的示例代码：

#include 
#include 
#define N 3
void cholesky(double A[N][N], double L[N][N]) { int i, j, k; for (i = 0; i < N; i++) { for (j = 0; j < N; j++) { if (i == j) { L[i][j] = sqrt(A[i][j]); } else if (i < j) { L[i][j] = (A[i][j] - dot_product(L, i, j)) / L[j][j]; } } }
}
double dot_product(double L[N][N], int i, int j) { double sum = 0.0; for (int k = 0; k < i; k++) { sum += L[i][k] * L[k][j]; } return sum;
}
int main() { double A[N][N] = { {4, 12, 3}, {12, 37, 21}, {3, 21, 13} }; double L[N][N] = {0}; cholesky(A, L); printf("Cholesky decomposition:\n"); for (int i = 0; i < N; i++) { for (int j = 0; j < N; j++) { printf("%f ", L[i][j]); } printf("\n"); } return 0;
}

在这个示例中，我们定义了一个 ( 3 \times 3 ) 的矩阵 ( A ) 和一个 ( 3 \times 3 ) 的矩阵 ( L )。cholesky 函数负责执行Cholesky分解，而 dot_product 函数用于计算两个向量的点积。

总结

Cholesky分解是一种高效求解线性方程组的方法，特别是在处理大型稀疏矩阵时。本文介绍了Cholesky分解的原理和C语言实现，并给出了一个示例代码。希望这篇文章能帮助您更好地理解和应用Cholesky分解。